लसावि व मसाविचे नियम व पद्धती | लसावि (LCM) आणि मसावि (HCM)

 नमस्कार विद्यार्थी  मित्र मैत्रिणिनो आजच्या लेखामध्ये आपण लसावी आणि मसावि (LCM And HCM) याच्या बद्दल सविस्तर पणे माहिती बघणार आहे. त्यामध्ये आपण सर्वप्रथम बघणार आहे की मसावि (Highest Common Factor) म्हणजे काय? ते कसे काढावे Masavi काढण्याच्या पद्धती, त्यानंतर आपण बघणार आहे लसावि (Least Common Multiple) म्हणजे काय? आणि Lasavi काढण्याच्या पद्धती आणि शेवटी आपण काही नियम बघणार आहो जे नियम आपल्याला लसावि आणि मसावि काढण्यासाठी मदत करतील तर चला आजचा  टाॅपिकं सुरु करूया लसावि आणि मसावि व त्यांचे नियम

लसावि आणि मसावि 

मसावि (महत्तम सामाईक विभाजक)

मसवि म्हणजे  महत्तम सामाईक विभाजक याचा अर्थ म्हणजे दोन किंवा दोन पेक्षा अधिक संख्या यांचातील मोठ्यात मोठा विभाजक असा होतो

म- महत्तम - मोठ्यातमोठा

सा - सामाईक - दोन किंवा दोनपेक्षा अधिक संख्येत सारखा (समान) असलेला अंक

वि - विभाजक - संख्यांना पूर्ण भाग जाणारा भाजक

उदाहरणार्थ :- (१) २० या संख्याचे विभाजक काढल्यास ते पुढीलप्रमाणे निघतील

                         २० ×  १ = २०

                        २ ×  १० = २०

                        ४ ×  ५  = २०

       म्हणून या उदाहरणात २, ४, ५, १०, २०  हे २० या संख्याचे विभाजक आहेत.

                      (२) २४ या संख्येचा विभाजक काढल्यास ते पुढीलप्रमाणे निघतील

                         २४ ×  १ = २४

                         २ ×  १२ = २४

                         ३ ×  ८  = २४

                         ४ ×  ६ = २४

                        वरील उदाहरणामध्ये २, ३, ४, ६, ८, १२, २४ हे २४ या संख्येचे विभाजक आहे

आता या दोन्ही संख्या २० आणि २४ यांच्या विभाजकातून सर्वात मोठा विभाजक ४ हा आहे त्यामुळे २० आणि २४ या संख्यांचा मसावि ४ आहे.

कोणत्याही संख्यांचा मसावि काढायचा असल्यास पुढीलकाही गोष्टी लक्षात ठेवणे फार गरजेचे ठरते 

• कोणत्याही दोन क्रमाने येणाऱ्या विषम संख्यांचा मसावि हा नेहमी १ असतो.
• कोणत्याही दोन क्रमाने येणाऱ्या सम संख्यांचा मसावि हा नेहमी २ असतो.
• कोणत्याही दोन क्रमाने येणाऱ्या नैसर्गिक  संख्यांचा मसावि हा नेहमी १ असतो.
• जर कोणत्याही दोन संख्यांचा मसावि १ येत असेल तर त्या दोन संख्या परस्पर मूळ संख्या आहे म्हणून ओळखल्या जातात.

आता आपण मसावि काढण्याच्या पद्धती बघूया; प्रामुख्याने मसावि काढण्यासाठी  चार पद्धतींचा उपयोग केला जातो 

१. विभाजाकाच्या यादी करून मसावि काढणे

२. मूळ अवयव पद्धतीने मसावि काढणे 

३. भागाकार पद्धतीने मसावि काढणे

४. अपूर्णांक संख्येचा मसावि काढणे

आता आपण या तिन्ही पद्धती थोडक्यात समजून घेऊया.

१. विभाजाकाच्या यादी करून मसावि काढणे

या पद्धतीमध्ये दिलेल्या संख्यांचे सर्वप्रथम विभाजक काढले जातात आणि त्या सर्व संख्यांच्या विभाजाकामधून सर्वात मोठी जी विभाजक संख्या असेल ती संख्या त्या पूर्ण संख्यांचा मसावि असते.

उदाहरणार्थ (१) ३६ आणि ४८ चा मसावि  = ?

                    ३६ चे विभाजक = १,२,३,४,६,९,१२,१८,३६ 

                 ४८ चे विभाजक = १,२,३,४,६,८,१२,१६,२४,४८

या दोन्ही संख्यांच्या विभाजकांंमधील सर्वात मोठा विभाजक १२ हा आहे.

म्हणून ३६ आणि ४८ या दोन संख्यांचा मसावि १२ आहे.

२. मूळ अवयव पद्धतीने मसावि काढणे 

या पद्धतीने मसावि काढण्यासाठी प्रथम ज्या संख्या उदाहरणामध्ये दिलेल्या असतात त्यांचे सविस्तर पणे अवयव पडावे आणि नंतर त्या सर्व संख्यांमध्ये जे समान अवयव असतात त्या सर्व अवयवांचा गुणाकार करावा आणि आलेले उत्तर हे त्या संख्यांचा मसावि असतो.

उदाहरणार्थ  (१) १८, ३०, ४२ या संख्यांचा अवयव पद्धतीने मसावि काढा.

या उदाहरणामध्ये सर्वप्रथम दिलेल्या सर्व संख्यांचे आपण अवयव पाडून घेऊया.

१८ = २ × ९ 

    = २ × ३ × ३ 

३० = २ × १५

     = २ × ३ × ५ 

४२ = २ × २१

     = २ × ३ × ७ 

                        वरील उदाहरणात आपण तिन्ही संख्यांचे अवयव पाडले असता त्या सर्व अवयवांमध्ये २ आणि ३ हे सारखे (common) अवयव दिसत आहे त्यामुळे आता या सारख्या अवयवांचा गुणाकार करू आणि आलेले उत्तर हे या तीनही संख्यांचा मसावि असेल.

२ × ३ = ६

म्हणून मसावि = ६ 

३. भागाकार पद्धतीने मसावि काढणे

या पद्धतीचा वापर ज्या वेळेस दिलेल्या उदाहरणामध्ये मोठी संख्या असते त्या वेळेस केला जातो.

 या पद्धतीचा वापर करतेवेळी सर्वप्रथम लहान संख्यने मोठ्या संख्येला भाग द्यावा लागतो आणि नंतर पुढे जे बाकी असते त्या बााकीने दुसऱ्या भजकास भाग द्यावा लागतो ही प्रक्रिया शेवटी बाकी ० (शून्य) उरत नाही तो पर्यंत परतपरत करत राहावी लागते आणि ज्यावेळी बाकी शून्य उरते त्या त्याचा पहिलेचा भाजक हा त्या उदाहरणात दिलेल्या संख्यांचा मसावि  असतो.

उदाहरणार्थ (१) १२० आणि १६८ या संख्यांचा मसावि काढा

मोठ्या संख्येला लहान संख्येने भागले असता.

बाकी ४८ उरते त्या बाकी ला परत पहिल्या संख्येने भागले असता बाकी २४ उरतात आता बाकी उरलेल्या २४ ला दुसऱ्या भाजकाने भागले असता बाकी ० उरते म्हणून दिलेल्या उदाहरणामध्ये १२० आणि १६८ चा मसावि २४ हा निघतो.

४. अपूर्णांक संख्येचा मसावि काढणे

अपूर्णांक संख्येचा मसावि काढण्यासाठी सर्वप्रथम अंशांच्या ठिकाणी असलेल्या संख्यांचा मसावि काढावा आणि छेदाच्या ठिकाणी असलेल्या संख्यांचा लसावि काढावा आणि आलेले उत्तर हे त्या अपूर्णांक संख्येंचा मसावि असतो. त्यासाठी आपण खालील सूत्र वापरू शकतो

                                        अंशाचा मसावि 

अपूर्णांकाचा मसावि =    _______________

                                        छेदाचा लसावि

उदाहरणार्थ 

लसावि (लघुत्तम सामाईक विभाजक)

लसावि म्हणजे लघुत्तम सामाईक विभाजक ज्या संख्येला उदाहरणातील सर्व संख्यांनी भाग जातो ती संख्या म्हणजे लसावि आहे .

ल - लघुत्तम - लहानात लहान
सा - सामाईक  - सारखा असणारा
वि - विभाजक - संख्यांना पूर्ण भाग जाणारा भाजक 

लसावि काढतांना पुढील काही गोष्टींकडे लक्ष देणे फार महत्वाचे आहे.

• लसावि ला उदाहरणातील सर्व संख्यांनी भाग हा जातोच.

• जर दिलेल्या उदाहरणामध्ये दोन किंवा दिलेल्या सर्व संख्या ह्या मुल संख्या असतील तर त्या मूळ संख्यांचा गुणाकार हा त्या संख्यांचा लसावि असतो.

          उदाहरण:- ३ आणि ५ या संख्यांचा लसावि म्हणजे ३ × ५ = १५ 

• दिलेल्या उदाहरणामध्ये दोन संख्यांपैकी एक संख्या ही दुसऱ्या संख्येची विभाज्य असे तर तीच संख्या त्या संख्यांचा लसावि असतो.

          उदाहरण:- १५ आणि ६० या संख्यंचा लसावि = ६० 

आता आपण लसावि काढण्याच्या काही पद्धती बघूया. लसावी काढण्या साठी एकूण चार पद्धतींचा उपयोग केला जातो तो पुढीलप्रमाणे

१. विभाज्य पद्धतीने लसावि काढणे

२. उभ्या अवयव पद्धतीने लसावि काढणे 

३. मूळ अवयव पद्धतीने लसावि काढणे

४. अपूर्णांक संख्यांचा लसावि काढणे

आता हे सर्व प्रकार आपण एक एक करून समजून घेऊया

१. विभाज्य पद्धतीने लसावि काढणे

विभाज्य पद्धतीने लसावि काढतांना सर्वप्रथम उदाहरणातील मोठी संख्या घ्यावी आणि त्यासंख्येची पटीत येणाऱ्या संख्या लिहाव्या (त्या संख्येचा पाढा लिहावा) आणि नंतर दिलेल्या उदाहरणातील लहान संख्यांनी मोठ्या संखेच्या पटीत येणाऱ्या कोणत्या संख्येला भाग जातो तो अंक शोधावा तोच अंक हा त्या उदाहरणातील संख्यांचा लसावि असतो 

उदाहरणार्थ (१) १६ आणि २४  या संख्यांचा लसावि काढा.

                       दिलेल्या उदाहरणात २४ ही मोठी संख्या आहे त्या संख्येची पट(पाढा) आपण लिहून घेऊ

                 २४ या संख्येची पट = २४, ४८, ७२, ९६, १२०, १४४...

                आता आपण हे बघूया की २४ च्या पटीत येणाऱ्या कोणत्या लहानात लहान संख्येला उदाहरणातील इतर संख्येने भाग जातो.

 इतर संख्या म्हणजे १६  आणि १६ ने ४८ या संखेला भाग जातो म्हणून या उदाहरणातील संख्यांचा लसावि ४८ आहे.

२. उभ्या अवयव पद्धतीने लसावि काढणे

उभ्या अवयव पद्धतीने लसावि काढताना उदाहरणात दिलेल्या सर्व संख्या या उभ्या लिहिल्या जातात आणि त्या नंतर त्या सर्व संख्यांना सोबत मुळ संख्यने भाग दिला जातो आणि ज्या संख्यांना भाग जात नसेल ती संख्या जशीच्यातशी खाली लिहिली जाते. आणि सर्व संख्यांना भाग तो पर्यंत दिला जातो जो पर्यंत शेवटी बाकी १ राहत नाही. आणि शेवटी १ उरल्यावर ज्या मूळ संख्यांनी आपण उदाहरणातील संख्यांना भाग दिला त्या सर्व मूळ संख्यांचा गुणाकार करून येणारे उत्तर हे त्या संख्यांचा लसावि असतो.

उदाहरणार्थ (१) १६, २८, ४० या संख्यांचा लसावि काढा.

आता ज्या मूळ संख्यांनी आपण उदाहरणातील संख्यांना भाग दिला त्या सर्व संख्यांचा आपण गुणाकार करूया

    २ × २ × २ × २ × ७ × ५  = ५६० 

म्हणून लसावि = ५६०

३. मूळ अवयव पद्धतीने लसावि काढणे

लसावि किंवा मसावि काढण्याच्या सर्व पाद्धातीपैकी ही पद्धत लसावि आणि मसावि काढण्यास सर्वात सोपी पद्धत आहे. या पद्धतीमध्ये उदाहरणामध्ये दिलेल्या संख्यांचा मूळ संख्यांनी अवयव पडावे आणि नंतर उदाहरणातील सर्व संख्यंचे सामाईक (समान) अवयव एक वेळा लिहावे आणि बाकी उरलेले असामाईक अवयव सुद्धा लिहून त्या सर्व संख्यांचा गुणाकार करावा. त्या संख्यांचा गुणाकार करून येणारे उत्तर हे उदाहरणातील संख्यांचा लसावि असतो.

उदाहरणार्थ (१)  १६, २५, ४० चा लसावि काढा.

                        

                        आता सर्व प्रथम आपण या संख्यांचे अवयव पाडून घेऊया.

                         

                   १५  =  ३ × ५

                  २५ = ५ × ५

                  ४० =  ५ × ८

                            ५ × २ × ४

                            ५ × २ × २ × २

१५, २५, आणि ४० चे सामाईक अवयव = ५

१५, २५, आणि ४० चे असामाईक अवयव = ३,५,२,२,२ 

आता लसावि काढण्यासाठी आपण सामाईक आणि असामाईक अवयवांचा गुणाकार करू

    

                 म्हणून १५,२५ आणि ४० चा लसावि = ५ × ३ × ५ × २ × २ × २ = ६००

४. अपूर्णांक संख्यांचा लसावि काढणे

अपूर्णांक संख्येचा लसावि काढण्यासाठी सर्वप्रथम अंशांच्या ठिकाणी असलेल्या संख्यांचा लसावि काढावा आणि छेदाच्या ठिकाणी असलेल्या संख्यांचा मसावि काढावा आणि आलेले उत्तर हे त्या अपूर्णांक संख्येंचा लसावि असतो. त्यासाठी आपण खालील सूत्र वापरू शकतो

                                        अंशाचा लसावि 

अपूर्णांकाचा लसावि =    _______________

                                        छेदाचा मसावि

उदाहरणार्थ

अश्या प्रकारे आपले लसावि आणि मसावि चे सर्व प्रकार आणि नियम पूर्ण झालेले आहे आता लसावि आणि मसावि काढतांना काही सूत्रे आपल्याला उपयोगात पडत असतात ते आपण आता बघूया.

लसावि आणि मसावि चे सूत्रे

पहिली संख्या × दुसरी संख्या  = ल. सा. वि. × म. सा.वि

पहिली संख्या = मसावि × लसावि / दुसरी संख्या

दुसरी संख्या  = मसावी × लसावि / पहिली संख्या

मसावि =  पहिली संख्या × दुसरी संख्या / लसावि

लसावि = पहिली संख्या × दुसरी संख्या / मसावि

लसावी / मसावी = असामायिक अवयवांचा गुणाकार

मोठी संख्या = मसावि × मोठा असामायिक अवयव

लहान संख्या = मसावि × लहान असमायिक अवयव

अशा प्रकारे आपला आजचा लेख लसावि व  मसाविचे नियम आणि पद्धती हा पूर्ण झाला आहे या मध्ये आपण सर्वप्रथम मसावि म्हणजे काय हे बघितले त्यानंतर त्यांचे नियम आणि पद्धती यांचा अभ्यास केला. त्यानंतर आपण लसावी म्हणजे काय हे बघितले आणि सोबतच त्यांच्या देखील नियम आणि पद्धतींचा आपण अभ्यास केला. आणि शेवटी आपण लसावि आणि मसावि काढण्यासाठी उपयोगी येणारे काही सूत्रे आपण बघितले आपल्याला ही माहिती कशी वाटली हे नक्की कळवा आणि आम्हाला असाच प्रतिसाद देत चला आम्ही आपल्याला स्पर्धापरीक्षेस उपयोगी असे टोपिक आपल्या पर्यंत नक्की पोहोचवत राहू.

संबंधित प्रश्नउत्तरे

(१)      लसावि म्हणजे काय ?

उत्तर: लसावि म्हणजे लघुत्तम सामाईक विभाजक 

(२)      लसावि काढण्याच्या एकूण पद्धती किती ?

उत्तर: लसावि काढण्याच्या एकूण चार पद्धती आहे; (१) विभाज्य पद्धतीने लसावि काढणे (२) उभ्या अवयव पद्धतीने लसावि काढणे (३) मूळ अवयव पद्धतीने लसावि काढणे (४) अपूर्णांक संख्यांचा लसावि काढणे

(३)      मसावि म्हणजे काय ?

उत्तर: मसावि म्हणजे महत्तम सामाईक विभाजक

(४)      लसावि आणि मसावि काढण्याची सर्वात सोपी पद्धत कोणती ?

उत्तर: लसावि आणि मसावि काढण्याची सर्वात सोपी पद्धत ही मुळ अवयव पद्धतीने लसावि किंवा मसावि काढणे ही आहे.

(५)     12 व 15 चा लसावी काढा

उत्तर:  १२ चे अवयव = २ × ६

                  २ × २ × ३

             १५ चे अवयव = ३ × ५

१२ व १५ चे सामाईक अवयव = ३

१२ व १५ चे असामाईक अवयव = २,२,५

१२ आणि १५ चा लसावि = ३ × २ × २ × ५ = ६०

संबंधित लेख 

संख्या व त्यांचे प्रकार

विभाजतेच्या कसोट्या

गणिताच्या मुलभूत क्रिया